Por lo que indicas, eres madre/padre rumano/a, vivís con tu hijo en España (ahora en Cantabria) y el otro progenitor está en Rumanía, y quieres solicitar que la custodia sea exclusiva para ti.

En estos casos, lo más importante suele ser determinar qué país y qué juzgado son competentes. Generalmente, si el menor tiene su residencia habitual en España, la competencia para decidir sobre custodia y patria potestad corresponde a los tribunales españoles, aunque el otro progenitor esté en el extranjero. Esto se apoya en el Reglamento (UE) 2019/1111 del Consejo, de 25 de junio de 2019, relativo a la competencia, el reconocimiento y la ejecución de resoluciones en materia matrimonial y de responsabilidad parental (Bruselas II ter), aplicable entre España y Rumanía.

En cuanto al “fondo” del asunto, en España la custodia se regula principalmente por el Código Civil. El juez suele decidir atendiendo al interés superior del menor, valorando quién se ha ocupado del cuidado diario, la estabilidad, la disponibilidad, la vinculación del niño con cada progenitor y, si procede por edad y madurez, su opinión.

Pasos que podrías seguir en la práctica (de forma orientativa):

1. Reunir documentación: certificado de nacimiento del menor, empadronamiento y prueba de residencia escolar/sanitaria en España, y cualquier evidencia sobre la implicación (o ausencia) del otro progenitor.
2. Presentar una demanda de medidas paternofiliales o, si hubo matrimonio, un procedimiento de divorcio con medidas sobre el menor, ante el Juzgado de Primera Instancia (Familia) del lugar de residencia del menor en España. En Cantabria, normalmente sería en el partido judicial correspondiente a vuestro domicilio.
3. Asegurar la notificación al progenitor en Rumanía. Entre Estados UE suele hacerse mediante cooperación judicial, lo que puede alargar plazos.
4. Solicitar, si es necesario, medidas provisionales mientras se tramita el procedimiento.

Dado el componente internacional (España-Rumanía), suele ser muy recomendable que un/a abogado/a de familia revise la residencia habitual del menor y prepare bien la prueba y la notificación en el extranjero. Si me dices desde cuándo vive el menor en España y si hubo matrimonio o reconocimiento de paternidad, puedo orientarte mejor sobre el tipo de procedimiento más adecuado.